横向射流（crossflow）是很常见的一种流体混合结构，当一股小尺寸的射流垂直进入大尺寸的横流时，垂直的射流就会逐渐转到横向过来，形成横向射流。 在这个过程中形成的涡系主要包括剪切涡、马蹄涡、尾迹涡和对旋涡，其中剪切涡和对旋涡的生成发展、传播和最终破碎是横向射流混合增强的主要因素。通过控制射流和主流的动量比，可以控制轨迹，改变穿透深度和形成的火焰长度。

远场的横向射流的轨迹一般可以用幂函数表示[1,2]。如图1，横向射流轨迹的可以由速度比$r$和射流直径$d$进行无量纲化。

$$ \left(\frac{y}{rd}\right) = A \left(\frac{x}{rd}\right)^{B} $$

典型的轨迹方程中，$B\approx \frac{1}{3}$。

以我们实验测量的横向射流的轨迹为例。

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拟合得到轨迹方程包含如下几步：

1. 在每个高度，也就是$y$坐标上，找到浓度或速度的最大值对应的$x$值。这里找到的最大点坐标还比较粗糙，最好再和相邻的几个点通过抛物线拟合的方法，得到更精确的坐标。 如图2 ，得到的最大点基本描绘出了轨迹，但还需要修剪一下数据。

2. 去掉头尾部分。去掉轨迹后面几个点比较好理解，因为到轨迹最后信噪比很低了；去除开头几个点是为什么呢？ 以实验测量的双喷嘴横向射流为例子，图3中给出了初步找到的中心线和修正后的中心线。

3. 下一步就是拟合了。首先要把找到的轨迹起始点归零。然后求log10 ，得到拟合直线，此时会发现需要去掉开头的非常接近零的几个点，也就是近场不符合幂函数规律的点，便于拟合。 从图4中可以看出，拟合的直线需要确定两个拟合变量，一个是拟合长度范围，一个是拟合起始位置。 不一定拟合长度越长越好，需要确定恰当的范围。 我们将这两个变量都在一定范围内变化，看得到的结果情况。

图4中，1)为待拟合的直线，2)横坐标为拟合位置、纵坐标为拟合长度，当拟合长度大时，拟合位置变化的就小。3)为2)图的梯度，可以看到有趣的梯度变化的图案，说明了拟合参数的影响。 可见当拟合长度和位置恰当时，得到的参数有一个稳定的区域，数值基本不变。表现为梯度接近零，可以用这个指标来确定恰当的拟合长度和位置。

在这个例子中，得到直线的方程为:

$$ \ln(y) = 0.30\times \ln(x) + 1.36 $$

而 $r = 7$, $d = 10mm$，得到

$$ \left(\frac{y}{rd}\right) = 0.2 \left(\frac{x}{rd}\right)^{0.3} $$

参考文献

1. BROADWELL J E, BREIDENTHAL R E. Structure and mixing of a transverse jet in incompressible flow[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1984, 148: 405-412.
2. HASSELBRINK E F, MUNGAL M G. Transverse jets and jet flames. Part 1. Scaling laws for strong transverse jets[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2001, 443: 1-25.
3. SMITH S H, MUNGAL M G. Mixing, structure and scaling of the jet in crossflow[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1998, 357: 83-122.
4. SU L K, MUNGAL M G. Simultaneous measurements of scalar and velocity field evolution in turbulent crossflowing jets[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2004, 513: 1-45.