用Witoszynski曲线设计收缩段

今天阅读了Witoszynski提出witoszynski曲线的文章，witoszynski曲线最初的设计是用于优化扩压器设计，目的是减小气体或液体的流速而没有显著能量损失。

Witoszynski工作的核心成果是描述扩压器内流线径向坐标r的表达式： $r = \frac{r_0}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{r_0^2}{r_1^2}\right) \frac{\left(1 - 3\frac{z^2}{a^2}\right)^2}{\left(1 + \frac{z^2}{a^2}\right)^3}}}$

其中，

• r：径向坐标
• r₀：入口半径，
• r₁：出口半径，
• z：表示沿流向的轴向坐标，范围是0到$\frac{a}{\sqrt{3}}$
• a：几何常数参数， 流线示意图如下：

根据文章，流线图v对应的为公式中的r，α对应公式中的a。 流线径向坐标r表达式的推导始于轴对称理想流体在柱坐标下的微分方程： $\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2} - \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial r} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = 0$

其解为流函数的级数形式： $\psi = r^2 f(z) - \frac{r^4}{2 \cdot 4} \frac{d^2 f(z)}{dz^2} + \frac{r^6}{2 \cdot 4 ^2\cdot 6} \frac{d^4 f(z)}{dz^4} + \cdots$

$f(z)$是一个光滑的函数，满足$f_{\infty}=1$.

则假设一个符合条件的$f(z)$函数，将其带入流函数得

A由边界条件而定 把A带入 得出r的表达式

与原式子的不同点在于，公式轴向坐标z的范围简化，变成0到$z_0$，于是公式随之变化，但其实两式是相同的。 那么如何用wito曲线设计收缩段呢

# set parameters
R1 = 200 
R0 = 40

z0 = 600 # total length
N = 1000 # how many points

# set variables
z = np.linspace(0,z0,N)
# set unknowns
f = np.zeros(N) # relative velocity profile
v = np.zeros(N) # velocity profile
a = np.zeros(N) # acceleration
r = np.zeros(N) # diameter

# calculate total velocity ratio
v_ratio = R0**2/R1**2
print('velocity ratio')
print(v_ratio)

for i in range(N):
    f[i] = (1-z[i]**2/z0**2)**2/(1+z[i]**2/(z0**2*3))**3 # range from 1 to 0
    v[i] = 1-(1-v_ratio)*f[i] # range from v_ratio to 1
    r[i] = R0/math.sqrt(v[i]) # range from R1 to R0

for i in range(1,N-1):
    a[i] = (v[i+1]-v[i-1])/2 # zero at both end

在设计收缩段时，通常是已知入口半径根据所需要的速度来求得出口半径，确定出口半径之后，再设计收缩段形状。

首先由连续性方程

$A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2$

得出

$\displaystyle \frac{v_2}{v_1} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$，

代码中的v_ratio即入口速度和出口速度之比，等于出口半径和入口半径之比的平方（v_ratio＜1），定义了速度比之后，使用平滑函数

$f(z) = \frac{\left(1 - \frac{z^2}{z_0^2}\right)^2}{\left(1 + \frac{z^2}{3z_0^2}\right)^3}$

确保无流动分离,f的范围是0到1，随距离变化的图片为

根据wito公式的一般形式，

$v(z) = 1 - (1 - v_{\text{ratio}}) \cdot f(z) $

$v_{\text{ratio}}$ 为定值，所以v(z)可求，v(z)随距离变化的图片为

然后半径变化曲线可以得出 $r(z) = \frac{R_0}{\sqrt{v(z)}} = \frac{R_0}{\sqrt{1 - (1 - v_{\text{ratio}}) \cdot f(z)}}$

r(z) 曲线如图